Os números irracionais

Os números irracionais são representados pela letra I (maiúscula). Estes números não admitem serem escritos na forma de fração, pois em suas formas decimais, consistem em números infinitos não periódicos. 

Exemplos:

Os números acima são infinitos, não formam períodos, portando não são dízimas periódicas. 

Estudos em Geometria reforçam a criação dos números irracionais, principalmente quando estamos referindo ao Teorema de Pitágoras: “A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. 
Considerando um quadrado 1 x 1, vamos calcular a medida de sua diagonal.

A diagonal de um quadrado de lado mediano 1 é igual a √2. 
O número √2 é um número irracional, pois ao extrair sua raiz quadrada, obtemos o seguinte resultado: 1,414213562373... (infinito não forma período). 

Outro número irracional muito usado na Geometria é o π (pi), descoberto por meio da divisão do comprimento de uma circunferência pelo diâmetro da mesma. 
Π = 3,141592653589793238462... 

O número de Ouro (divina proporção) também é considerado um número irracional. 
Surge da relação existente na seqüência de Fibonacci: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...). Notemos que a seqüência é construída somando o termo atual com o anterior para descobrir o próximo.

Observe: 
1 
1+1=2 
2+1=3 
3+2=5 
5+3=8 
8+5=13 
13+8=21 
21+13=34 
34+21=55 
E assim por diante. 

Calculando o valor aproximado do número de Ouro 
1:1=1 
2:1=2 
3:2=1,5 
5:3=1,66666.... 
8:5=1,6 
13:8=1,625 
21:13=1,615... 
34:21=1,619... 
55:34=1,617... 

Notamos que a partir da divisão de 5 : 3, o resultado começou a ficar próximo de 1,6. O número de Ouro está presente nas artes, música e nas obras arquitetônicas gregas. 

O número de Neper, descoberto por John Napier, matemático que aprofundou os estudos sobre logaritmos, também é considerado um número irracional. 

Número de Neper: 

Fonte: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/numeros-irracionais.htm